EL NUMERO DE ORO

En este espacio se pretende que los alumnos:

Se informen sobre el número de oro.
Identifiquen razones áureas en la geometría, en el arte, en la naturaleza.
Descubran que la matemática está siempre presente en todo lo que nos rodea, desde lo más simple y cotidiano hasta los desarrollos y avances más complejos, aunque a veces parezca estar fuera de la realidad.

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EL NÚMERO DE ORO.

Una conexión entre la Matemática y el Arte es sin lugar a dudas, el número de oro, llamado también número dorado, sección áurea, razón áurea o divina proporción. Se representa por la letra griega Ф (fi) y es el número irracional:

Este número posee muchas propiedades interesantes y fue descubierto en la antigüedad como relación o proporción. Esta proporción, primero geométrica y después aritmética, tutela los orígenes de la estética occidental. En las matemáticas pitagóricas, y después medievales y renacentistas, determinadas constantes entre números y formas supieron erigirse en modelos de armonía y en cánones de belleza. Se encuentra en algunas figuras geométricas, en las partes de un cuerpo, en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.
Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a.C.
En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. Por aquel entonces no recibía ningún nombre especial; era algo tan familiar entre los antiguos griegos que "la división de un segmento en media extrema y razón" era conocida generalmente como "la sección".
En el Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas.
La denominación con la letra griega Ф (Fi), la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias, utilizando la primera letra de su nombre.

Platón (circa 428-347 a.C.), consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.

Leonado Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione, quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de "Divina Proporción". Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea. Se trataba en ambos casos de definir la división armónica que existe al momento de cortar un segmento en dos partes desiguales de manera que el segmento mayor sea al total como el menor es al mayor.

Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido es la medida de las tarjetas de crédito, la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro documento de identidad y también en las cajas de cigarrillos.

"Fibonacci y el número de oro"

La sección áurea en el arte

Los artistas del Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura. En “La última cena”, aparece en las dimensiones de la mesa, en la disposición de Cristo y los discípulos sentados, como así también en las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.
En su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar en muchos detalles de su rostro; además el rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

"La Gioconda"

Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio guardan una razón áurea; Leonardo relacionó el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia, que tienen su centro en el ombligo, con el número de oro. El ombligo divide la altura del cuerpo humano en razón áurea.

"El hombre de vitruvio"

En las primeras civilizaciones, en Egipto, se puede ver el uso de la proporción áurea en la arquitectura de las Pirámides.
La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Por ejemplo la razón entre el ancho y el alto de la fachada es igual a Ф. Es decir es una razón áurea y el rectángulo cuyos lados guardan esa razón, rectángulo áureo.

En la figura se puede comprobar que AB/CD = Ф

En sus esculturas se pueden ver lo que luego se llamará proporción divina.
El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
El número de oro está presente en “La Sagrada Familia” de Miguel Angel. En esta pintura circular se pueden considerar dos pentágonos regulares inscriptos, uno convexo y otro estrellado en los que se cumple la razón áurea hallando el cociente entre la diagonal del pentágono convexo y su lado. Si se toma como unidad un lado del pentágono interior, cualquier línea que marca los brazos de la estrella mide Ф. Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande.
Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Ф.

Pentágono y tentáculo inscripto en “La Sagrada Familia”

Otro artista que utilizó y tuvo vínculos con Pacioli es Piero Della Francesca (1416-1492), en muchos de cuyos cuadros aparece la sección áurea. O Paolo Uccello (1397-1475), que fue un enfermo de las matemáticas y recupera siempre los números de Fibonacci.
Es interesante ver cómo a fines del siglo XIX y principios del XX algunas escuelas o artistas recuperan la sección áurea como en el caso de Seurat y sus bañistas, o Mondrian, o aquí mismo en la Argentina con la llamada pintura concreta de los años ‘40 y ‘50. Matisse, por supuesto, o Dalí.
En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
En la novela de Dan Brown “El código Da Vinci” aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière.
Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
En la cinta de Darren Aronofsky Pi, el orden del caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea.
En el edificio de las Naciones Unidas en Nueva York se tuvo en cuenta también a la sección áurea. Es un gran prisma rectangular cuya cara mayor sigue las citadas proporciones.

La sección áurea en la naturaleza

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea:Según el propio Leonardo de Pisa Fibonacci, en su Libro de los ábacos, la secuencia puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad).
La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol.

La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).La distribución de las hojas en un tallo.
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.
La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Ф tomando como unidad la rama superior).La distancia entre las espirales de una piña.
La Anatomía de los humanos se basa en una relación Ф exacta, así vemos que:La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Ф.La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.
Es Ф la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilarCuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Ф, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).
Está comprobado que la mayor cantidad de números Ф en el cuerpo y el rostro hace que la mayoría de las personas reconozcan a esos individuos como lindos, bellos y proporcionados. Si se miden los números Ф de una población determinada y se la compara con una población de modelos publicitarios, estos últimos resultan acercarse más al número Ф.

¿Cómo se obtiene el número de oro?


Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

Para obtener el valor de Ф a partir de esta razón considerar lo siguiente:
Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben verificar que:

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación sean:

La solución positiva es el valor del número áureo, y esto es una prueba formal de que el número áureo es irracional ya que incluye la raíz de un número primo.


Actividades.


Rectángulo áureo. Se denomina rectángulo áureo o rectángulo de oro al rectángulo en que la base y la altura están en proporción áurea. Si a y b son los lados, a/b = Ф.


Actividad 1.

Verificar si los rectángulos correspondientes a las tarjetas de crédito, documentos de identidad y cajas de cigarrillos son áureos. Justificar escribiendo las razones áureas.


Actividad 2.

¿Cómo construir un rectángulo áureo?

a) Construir un cuadrado abcd. Marcar m (punto medio de un lado) y unir m con un vértice opuesto, por ejemplo c.
b) Con centro en m, trazar un arco de radio mc que corte a la recta que incluye al lado ab en el punto p. (marcar p).
c) El rectángulo de lados ap y ad es áureo.
d) Calcular la medida de ap si el lado del cuadrado es 1.
Ayuda: ap = am + mp y mp = mc que es hipotenusa del triángulo rectángulo mcb.









Actividad 3.

Construir otros rectángulos áureos:

a) A partir del triángulo 3-4-5 b) A partir del triángulo 1-2

Actividad 4.

En el libro Elementos del matemático Euclides (siglo III a.C) se encuentra la siguiente construcción gráfica del número de oro:

a) Trazar un segmento unitario ab y, perpendicular a éste trazar otro también unitario ac.
b) Con centro en o, punto medio de ac, trazar una circunferencia de radio oa.
c) Unir b con o y prolongar hasta cortar a la circunferencia en d.
d) Demostrar aplicando la relación pitagórica que bd = Ф.

Actividad 5.

El rectángulo de oro, permite trazar una bella espiral, denominada espiral de oro o espiral de Fibonacci
Para ello es necesario construir una serie de rectángulos en los que los lados mantengan la proporción áurea. Se comienza dibujando dos pequeños cuadrados que tengan por lado una unidad. A partir de ellos se forma otro cuyo lado es 2, seguimos con cuadrados de lado 3, 5, 8, 13… Si los ordenamos crecientemente de forma que compartan sus lados, obtenemos una serie de rectángulos que cumplen la proporción áurea; esto es, rectángulos de lados 2×3, 3×5, 5×8, 8×13….
Si unimos los vértices de estos rectángulos se forma una curva (espiral de Fibonacci) casi idéntica a la que aparece en las conchas de moluscos como el nautilus, en la forma de la Vía Láctea, en los cuernos de los rumiantes e incluso en el caracol de nuestro oído interno. Esta espiral tiene la peculiaridad de que su forma y proporciones no se alteran aunque aumente su tamaño.
Construir una espiral de Fibonacci.