martes, 21 de octubre de 2008

Actividades



Rectángulo áureo. Se denomina rectángulo áureo o rectángulo de oro al rectángulo en que la base y la altura están en proporción áurea. Si a y b son los lados, a/b = Ф.

Actividad 1.

Verificar si los rectángulos correspondientes a las tarjetas de crédito, documentos de identidad y cajas de cigarrillos son áureos. Justificar escribiendo las razones áureas.


Actividad 2.
¿Cómo construir un rectángulo áureo?

a) Construir un cuadrado abcd. Marcar m (punto medio de un lado) y unir m con un vértice opuesto, por ejemplo c.
b) Con centro en m, trazar un arco de radio mc que corte a la recta que incluye al lado ab en el punto p. (marcar p).
c) El rectángulo de lados ap y ad es áureo.
d) Calcular la medida de ap si el lado del cuadrado es 1.

Ayuda: ap = am + mp y mp = mc que es hipotenusa del triángulo rectángulo mcb.



Actividad 3.

Construir otros rectángulos áureos:

a) A partir del triángulo 3-4-5

b) A partir del triángulo 1-2



Actividad 4.

En el libro Elementos del matemático Euclides (siglo III a.C) se encuentra la siguiente construcción gráfica del número de oro:

a) Trazar un segmento unitario ab y, perpendicular a éste trazar otro también unitario ac.
b) Con centro en o, punto medio de ac, trazar una circunferencia de radio oa.
c) Unir b con o y prolongar hasta cortar a la circunferencia en d.
d) Demostrar aplicando la relación pitagórica que bd = Ф.



Actividad 5.

El rectángulo de oro, permite trazar una bella espiral, denominada espiral de oro o espiral de Fibonacci
Para ello es necesario construir una serie de rectángulos en los que los lados mantengan la proporción áurea. Se comienza dibujando dos pequeños cuadrados que tengan por lado una unidad. A partir de ellos se forma otro cuyo lado es 2, seguimos con cuadrados de lado 3, 5, 8, 13… Si los ordenamos crecientemente de forma que compartan sus lados, obtenemos una serie de rectángulos que cumplen la proporción áurea; esto es, rectángulos de lados 2×3, 3×5, 5×8, 8×13….
Si unimos los vértices de estos rectángulos se forma una curva (espiral de Fibonacci) casi idéntica a la que aparece en las conchas de moluscos como el nautilus, en la forma de la Vía Láctea, en los cuernos de los rumiantes e incluso en el caracol de nuestro oído interno. Esta espiral tiene la peculiaridad de que su forma y proporciones no se alteran aunque aumente su tamaño.
Construir una espiral de Fibonacci.

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