¿Cómo se obtiene el número de oro?

Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

Para obtener el valor de Ф a partir de esta razón considerar lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben verificar que:

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:
Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación sean:

La solución positiva es el valor del número áureo, y esto es una prueba formal de que el número áureo es irracional ya que incluye la raíz de un número primo.